Внутри логики "произведений" и равенства в теории множеств

Таблица ссылок

Аннотация

1. Благодарности и введение

2. Универсальные свойства

3. Произведения на практике

4. Универсальные свойства в алгебраической геометрии

5. Проблема с использованием равенства по Гротендику

6. Подробнее о "канонических" отображениях

7. Канонические изоморфизмы в более продвинутой математике

8. Резюме и ссылки

Универсальные свойства

Мне известны три разумных класса оснований для математики: основанные на теории множеств, основанные на теории типов и основанные на теории категорий. Существуют также различные результаты, говорящие о том, что, в широком смысле, эти основания способны доказывать одни и те же теоремы. Однако для обсуждения равенства нам придется точно определить, о чем мы говорим, поэтому я выберу теорию множеств ZFC и классическую логику в качестве основы для нашего обсуждения.1

Основа для этого решения просто в том, что если математик когда-либо посещал занятия по логическим основам своего предмета (а многие из них этого не делали), то, вероятно, это был курс по теории множеств. Более того, литература по чистой математике написана в поверхностно теоретико-множественном стиле: нам говорят, что группа — это множество с некоторой структурой и аксиомами, многообразие — это множество с другой структурой и аксиомами, и так далее. Здесь слово "множество" — просто заполнитель для идеи "коллекции атомов".

Очевидно, что два равных множества имеют одинаковые элементы; это следует из так называемого принципа подстановки для равенства, который гласит, что если X и Y — любые два математических объекта, которые равны, то любое утверждение, которое вы можете сделать в своей фундаментальной системе о X, также верно для Y. Обратное утверждение, что два множества с одинаковыми элементами равны, вводится как аксиома теории. Это гарантирует, что абстрактное понятие множества совпадает с нашей ментальной моделью того, что оно представляет: множество — не более и не менее чем коллекция вещей.

Теперь я хотел бы начать обсуждение свойств, которые однозначно характеризуют математический объект. Начнем с примера: произведение X × Y двух множеств X и Y. Позвольте предупредить читателя, что в следующих нескольких абзацах я буду проводить очень тщательное различие между понятием произведения X и Y и понятием произведения X и Y. Произведение X × Y двух множеств определяется как множество упорядоченных пар (x, y) с x ∈ X и y ∈ Y (можно проверить, используя аксиомы теории множеств, что возможно создать это множество).

Обратите внимание, что здесь мы сталкиваемся с той же проблемой, которую мы видели ранее с действительными числами: существует несколько различных способов определить понятие упорядоченной пары в теории множеств. Теория множеств очень хорошо разработана для работы с неупорядоченными парами: множества {x, y} и {y, x} имеют одинаковые элементы и, следовательно, равны, поэтому для определения упорядоченной пары необходимо использовать какой-то хак.

Страница Википедии для упорядоченных пар [Wik04b] в настоящее время дает три различные конструкции, принадлежащие Винеру ({{{x}, ∅}, {{y}}}), Хаусдорфу ({{x, 1}, {y, 2}}) и Куратовскому ({{x}, {x, y}}); все они имеют оттенок некоторой искусственности.2 Опять же, математики хорошо знают, что эта проблема вообще не имеет значения на практике: все, что нам нужно знать, это определяющее свойство упорядоченных пар, которое заключается в том, что (x1, y1) = (x2, y2) ⇐⇒ x1 = x2 и y1 = y2; это все, что нам понадобится, и все определения удовлетворяют этому свойству.

Произведение X × Y оснащено двумя проекционными отображениями π1 : X × Y → X и π2 : X × Y → Y. Строго говоря, не только произведение, но и тройка (X × Y, π1, π2) удовлетворяет следующему универсальному свойству:

Универсальное свойство произведений: Тройка (P, π1 : P → X, π2 : P → Y) называется произведением X и Y, если она удовлетворяет следующему свойству: если S — любое множество, а f : S → X и g : S → Y — функции, то существует единственная функция из S в P такая, что ее композиция с π1 есть f, а ее композиция с π2 есть g.

Универсальное свойство не является определением произведения двух множеств; его можно рассматривать как бесконечно много фактов, которым должно удовлетворять произведение (по одному для каждого выбора множества S и функций f и g). Нетрудно проверить, что произведение X × Y множеств X и Y, оснащенное естественными проекциями, является произведением. Но обратное совсем не верно: обычно существует множество других троек (P, π1, π2), которые удовлетворяют свойству быть произведением, не будучи произведением.

Например, если X = {37} и Y = {42}, то произведение X × Y равно {(37, 42)}, но на самом деле любое множество P с одним элементом, оснащенное π1 : P → X, отправляющим все в 37, и π2 : P → Y, отправляющим все в 42, удовлетворяет универсальному свойству быть произведением. В частности, в общем случае существует несчетно много различных вещей, которые удовлетворяют свойству быть произведением. Однако математики чрезвычайно хорошо умеют идентифицировать эти разные вещи; они "одинаковы" таким образом, который выходит за рамки правильного использования символа =. Мы можем делать это благодаря йоге единственности для универсальных объектов. Давайте рассмотрим эту йогу, которая является частью формальной категорно-теоретической чепухи, в случае произведений.

Скажем, P1 и P2 оба являются произведением для X и Y. Применение части существования универсального свойства для P2 (с его проекциями на X и Y) к множеству S = P1 (с его проекциями на X и Y) дает нам функцию α : P1 → P2, коммутирующую с проекциями на X и Y. Меняя 1 и 2 в аргументе, мы также можем построить функцию β : P2 → P1, коммутирующую с проекциями. Более того, β ◦ α — это отображение из P1 в P1, коммутирующее с проекциями, как и тождественная функция; по части единственности универсального свойства P1, примененного к P1, мы выводим, что β ◦ α должно быть тождественным отображением на P1; аналогично, α ◦ β должно быть тождественным отображением на P2.

Следовательно, α и β — биекции, коммутирующие с проекционными отображениями. Наконец, используя часть единственности универсального свойства для P2, примененного к P1, мы получаем, что α — единственное отображение из P1 в P2, которое коммутирует с проекциями, по симметрии β — единственное отображение из P2 в P1, которое коммутирует с проекциями. Суть этой абстрактной чепухи (которая никогда не упоминала элементы каких-либо множеств, только объекты и морфизмы) в том, что существуют единственные взаимно обратные биекции между P1 и P2, которые коммутируют с проекциями на множители X и

Y. В частности, если P является произведением X и Y, то оно однозначно изоморфно произведению X × Y множеств X и Y способом, совместимым с проекциями. В нашем примере с одним элементом X = {37} и Y = {42}, если P — любое множество с одним элементом, то единственное отображение из P в X × Y, конечно, отправляет элемент в (37, 42).

:::info Автор: КЕВИН БАЗЗАРД

:::

:::info Эта статья доступна на arxiv под лицензией CC BY 4.0 DEED.

:::

\